高二数学：函数的值域与最值

同学们，学好数学，需要我们熟悉概念，并且要多做习题，只有我们深入的理解概念，并且不断的练习，才能够学好数学，下面请大家一起学习高二数学：函数的值域与最值。

一、选择题

1.函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则f′(x)(　　)

A.等于0　　　　　　　 B.大于0

C.小于0 D.以上都有可能

[答案]　A

[解析]　∵M=m，∴y=f(x)是常数函数

∴f′(x)=0，故应选A.

2.设f(x)=14x4+13x3+12x2在[-1,1]上的最小值为(　　)

A.0　　　　 B.-2

C.-1　 　　 D.1312

[答案]　A

[解析]　y′=x3+x2+x=x(x2+x+1)

令y′=0，解得x=0.

∴f(-1)=512，f(0)=0，f(1)=1312

∴f(x)在[-1,1]上最小值为0.故应选A.

3.函数y=x3+x2-x+1在区间[-2,1]上的最小值为(　　)

A.2227 B.2

C.-1 D.-4

[答案]　C

[解析]　y′=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)

令y′=0解得x=13或x=-1

当x=-2时，y=-1;当x=-1时，y=2;

当x=13时，y=2227;当x=1时，y=2.

所以函数的最小值为-1，故应选C.

4.函数f(x)=x2-x+1在区间[-3,0]上的最值为(　　)

A.最大值为13，最小值为34

B.最大值为1，最小值为4

C.最大值为13，最小值为1

D.最大值为-1，最小值为-7

[答案]　A

[解析]　∵y=x2-x+1，∴y′=2x-1，

令y′=0，∴x=12，f(-3)=13，f12=34，f(0)=1.

5.函数y=x+1-x在(0,1)上的最大值为(　　)

A.2 B.1

C.0 D.不存在

[答案]　A

[解析]　y′=12x-121-x=12•1-x-xx•1-x

由y′=0得x=12，在0，12上y′>0，在12，1上

y′<0.∴x=12时y极大=2，

又x∈(0,1)，∴ymax=2.

6.函数f(x)=x4-4x (|x|<1)(　　)

A.有最大值，无最小值

B.有最大值，也有最小值

C.无最大值，有最小值

D.既无最大值，也无最小值

[答案]　D

[解析]　f′(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).

令f′(x)=0，得x=1.又x∈(-1,1)

∴该方程无解，

故函数f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D.

7.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是(　　)

A.5，-15 B.5,4

C.-4，-15 D.5，-16

[答案]　A

[解析]　y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)，

令y′=0，得x=2或x=-1(舍).

∵f(0)=5，f(2)=-15，f(3)=-4，

∴ymax=5，ymin=-15，故选A.

8.已知函数y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值为154，则a等于(　　)

A.-32 B.12

C.-12 D.12或-32

[答案]　C

[解析]　y′=-2x-2，令y′=0得x=-1.

当a≤-1时，最大值为f(-1)=4，不合题意.

当-1

最大值为f(a)=-a2-2a+3=154，

解得a=-12或a=-32(舍去).

9.若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1，k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是

(　　)

A.k≤-3或-1≤k≤1或k≥3

B.-3

C.-2

D.不存在这样的实数

[答案]　B

[解析]　因为y′=3x2-12，由y′>0得函数的增区间是(-∞，-2)和(2，+∞)，由y′<0，得函数的减区间是(-2,2)，由于函数在(k-1，k+1)上不是单调函数，所以有k-1<-2

10.函数f(x)=x3+ax-2在区间[1，+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A.[3，+∞) B.[-3，+∞)

C.(-3，+∞) D.(-∞，-3)

[答案]　B

[解析]　∵f(x)=x3+ax-2在[1，+∞)上是增函数，∴f′(x)=3x2+a≥0在[1，+∞)上恒成立

即a≥-3x2在[1，+∞)上恒成立

又∵在[1，+∞)上(-3x2)max=-3

∴a≥-3，故应选B.

二、填空题

11.函数y=x32+(1-x)32，0≤x≤1的最小值为______.

[答案]　22

由y′>0得x>12，由y′<0得x<12.

此函数在0，12上为减函数，在12，1上为增函数，∴最小值在x=12时取得，ymin=22.

12.函数f(x)=5-36x+3x2+4x3在区间[-2，+∞)上的最大值________，最小值为________.

[答案]　不存在;-2834

[解析]　f′(x)=-36+6x+12x2，

令f′(x)=0得x1=-2，x2=32;当x>32时，函数为增函数，当-2≤x≤32时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(-2)=57，f32=-2834，所以最小值为-2834.

13.若函数f(x)=xx2+a(a>0)在[1，+∞)上的最大值为33，则a的值为________.

[答案]　3-1

[解析]　f′(x)=x2+a-2x2(x2+a)2=a-x2(x2+a)2

令f′(x)=0，解得x=a或x=-a(舍去)

当x>a时，f′(x)<0;当00;

当x=a时，f(x)=a2a=33，a=32<1，不合题意.

∴f(x)max=f(1)=11+a=33，解得a=3-1.

14.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M-m=________.

[答案]　32

[解析]　f′(x)=3x2-12

由f′(x)>0得x>2或x<-2，

由f′(x)<0得-2

∴f(x)在[-3，-2]上单调递增，在[-2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增.

又f(-3)=17，f(-2)=24，f(2)=-8，

f(3)=-1，

∴最大值M=24，最小值m=-8，

∴M-m=32.

三、解答题

15.求下列函数的最值：

(1)f(x)=sin2x-x-π2≤x≤π2;

(2)f(x)=x+1-x2.

[解析]　(1)f′(x)=2cos2x-1.

令f′(x)=0，得cos2x=12.

又x∈-π2，π2，∴2x∈[-π，π]，

∴2x=±π3，∴x=±π6.

∴函数f(x)在-π2，π2上的两个极值分别为

fπ6=32-π6，f-π6=-32+π6.

又f(x)在区间端点的取值为

fπ2=-π2，f-π2=π2.

比较以上函数值可得f(x)max=π2，f(x)min=-π2.

(2)∵函数f(x)有意义，

∴必须满足1-x2≥0，即-1≤x≤1，

∴函数f(x)的定义域为[-1,1].

f′(x)=1+12(1-x2)-12•(1-x2)′=1-x1-x2 .

令f′(x)=0，得x=22 .

∴f(x)在[-1,1]上的极值为

f22=22+1-222=2.

又f(x)在区间端点的函数值为f(1)=1，f(-1)=-1，比较以上函数值可得f(x)max=2，f(x)min=-1.

16.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.求f(x)在区间-34，14上的最大值和最小值.

[解析]　f(x)的定义域为-32，+∞.

f′(x)=2x+22x+3=4x2+6x+22x+3

=2(2x+1)(x+1)2x+3.

当-320;

当-1

当x>-12时，f′(x)>0，

所以f(x)在-34，14上的最小值为

f-12=ln2+14.

又f-34-f14=ln32+916-ln72-116=ln37+12=121-ln499<0，

所以f(x)在区间-34，14上的最大值为 f14=ln72+116.

17.(2010•安徽理，17)设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a，x∈R.

(1)求f(x)的单调区间及极值;

(2)求证：当a>ln2-1且x>0时，ex>x2-2ax+1.

[分析]　本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.

解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值.(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明.

[解析]　(1)解：由f(x)=ex-2x+2a，x∈R知f′(x)=ex-2，x∈R.

令f′(x)=0，得x=ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (-∞，ln2) ln2 (ln2，+∞)

f′(x) - 0 +

f(x) 单调递减 ? 2(1-ln2+a) 单调递增 ?

故f(x)的单调递减区间是(-∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，+∞)，

f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).

(2)证明：设g(x)=ex-x2+2ax-1，x∈R，于是g′(x)=ex-2x+2a，x∈R.

由(1)知当a>ln2-1时，g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.

于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增.

于是当a>ln2-1时，对任意x∈(0，+∞)，都有g(x)>g(0).

而g(0)=0，从而对任意x∈(0，+∞)，g(x)>0.

即ex-x2+2ax-1>0，故ex>x2-2ax+1.

18.已知函数f(x)=4x2-72-x，x∈[0,1].

(1)求f(x)的单调区间和值域;

(2)设a≥1，函数g(x)=x3-3a2x-2a，x∈[0,1].若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围.

[解析]　(1)对函数f(x)求导，得

f′(x)=-4x2+16x-7(2-x)2=-(2x-1)(2x-7)(2-x)2

令f′(x)=0解得x=12或x=72.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x 0 (0，12)

12

(12，1)

1

f′(x) - 0 +

f(x) -72

? -4 ? -3

所以，当x∈(0，12)时，f(x)是减函数;

当x∈12，1时，f(x)是增函数.

当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[-4，-3].

(2)g′(x)=3(x2-a2).

因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0.

因此当x∈(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1)，g(0)].

又g(1)=1-2a-3a2，g(0)=-2a，即x∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a2，-2a].

任给x1∈[0,1]，f(x1)∈[-4，-3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立，

则[1-2a-3a2，-2a]⊇[-4，-3].

即1-2a-3a2≤-4，①-2a≥-3.②

解①式得a≥1或a≤-53;解②式得a≤32.

又a≥1，故a的取值范围为1≤a≤32.

高二数学：函数的值域与最值大家已经学习过了，对于以上的知识也有了新的认识，最后，我们希望大家能够取得好的成绩，拿到数学高分!